2) 是兩架飛機之間垂直距離的平均值，假設一架飛機的高度誤差的方差為一個常量，若 增大，則圖5－1中的整條曲線就向右平移，明顯的，在其他參數(shù)沒有改變的情況下，該密度函數(shù)在 附近的取值就會減小，則表示兩機發(fā)生危險概率的陰影區(qū)面積就會減小，也就是兩機之間發(fā)生危險的可能性就減小了。從公式上來說，如果 很小的話， 就近似于：

  （5.7）

其中，

 

因此，

  （5.8）

對 求導，得：

  （5.9）

 

圖5－2 兩機之間垂直距離概率密度函數(shù)隨均方差的改變

概率 的斜率為負，表示 隨著 的增大而減小。從語言上描述 增大也就是兩架飛機各自所使用的高度層之間的高度差增大了，從飛行的實際情況來看，飛機之間在垂直方向上發(fā)生沖突的概率自然也會隨之而減小的。

3) 下面再看看 對概率 的影響，設 是固定的。從實際上看似乎飛機上所裝備的氣壓高度表越精確，也就是 越小，飛機之間發(fā)生危險情況的可能性就會越小，然而從圖5－2就可以發(fā)現(xiàn)，當 為固定值時，減小 ，飛機之間發(fā)生危險情況的可能性并不一定就減小，下面就從數(shù)學公式上來做一下討論。

對于一個給定的 ， 是在 處的一部分面積，當 比較小的時候就有：

 

 

在該式中對 求導，得：

                （5.10）

令 可以知道該密度函數(shù)在 處相對于變量 的斜率值。

當 時， 為非負； 當 時， 為負。

這就表明了如下的結論：當 取一定值的時候，如果 ， 會隨著 的減小而減小，而當 時， 會隨著 的增大而減小, 其中 。這就是說，至少從理論上講，在某些情況下，測量高度的方法越精確反而會導致更大的危險概率。

5.4 考慮到飛機上升及下降后飛機之間垂直距離的數(shù)學模型

以上討論了飛機在空中飛行時，在垂直方向上距離的最基本的數(shù)學模型，其中沒有對飛機在垂直方向上有機動動作的情況進行考慮，如果考慮得比較全面一點，考慮飛機爬升下降的情況，則此時飛機之間在垂直方向上的距離的平均值就不再是一個固定的值,而是一個隨時間改變的分段隨機函數(shù)了，假設飛機原來的高度分別為 ，各自開始改變高度的時間為 ，其爬升下降率分別為 ，改變高度的目的高度為 ， ，具體的判斷方法是：

A． 先判斷兩架飛機中的哪一架先開始爬升下降的，

B． 當時間小于第一架改變高度的飛機（令這架飛機為飛機1）爬升下降的時間的時候，兩架飛機都還在保持平飛狀態(tài)，他們之間的垂直距離的平均值依然是：

  （5.11）

C． 當時間大于第一架改變高度的飛機爬升下降的時間的時候，兩架飛機有可能為如下六種可能的狀態(tài)，他們之間的垂直距離分別為：

a． 飛機1在改變高度，飛機2在原高度上平飛，垂直距離為：

  （5.12）

b． 飛機1在改變高度，飛機2也在改變高度，垂直距離為：

  （5.13）

c． 飛機1在改變高度，飛機2改變高度完畢，在目的高度上平飛，垂直距離為：

  （5.14）

d． 飛機1改變高度完畢，飛機2在原高度上平飛，垂直距離為：

  （5.15）

e． 飛機1改變高度完畢，飛機2在改變高度，垂直距離為：

  （5.16）

f． 飛機1改變高度完畢，飛機2改變高度完畢，垂直距離為：

  （5.17）

值得注意的是，從以上給出的算式中可以看出，飛機的爬升下降率應該是有符號的，但是這里的符號并不是那么簡單的爬升為正下降為負了，而是根據(jù)兩架飛機之間的垂直距離的改變情況來定的，若飛機改變高度的方向會令兩機之間的垂直距離減小的話其爬升下降率取正，反之，若飛機改變高度的方向會令兩機之間的垂直距離增大的話則其爬升下降率取負，具體說來就是指在比較低高度飛行的飛機上升高度的話，其爬升率取正值，下降高度的話則取負值；反之，在較高高度上飛行的飛機上升高度的話，其爬升率取負值，下降高度的話則取正值。這一點在對相應的仿真計算程序作數(shù)據(jù)輸入的時候要特別注意。